podział odcinka – rozwiązanie / how to divide a segment – a solution, or a terrible headache of Kinga T.

Po wpisie o Królowej Karolinie i zagadkach matematycznych mam wyrzuty sumienia, że aż tylu osobom nie dałam spać:)
Tak więc – nawet jeśli większość już dawno zarzuciła łamanie głowy – podaję rozwiązanie.

Tym samym gratulacje dla Barta i Kosmy z komentarzy do posta, którzy jako jedyni byli tegoż rozwiązania bliscy – brakowało tylko może połączenia ich dwóch dróg rozumowania w jedną całość.

No to lecimy:
Żeby było prościej umówmy się, że jeśli umiem podzielić odcinek długości 1 na trzy/dwie/pięć/osiemdziesiąt części, tak aby ich iloczyn był największy, to umiem podzielić tak odcinek dowolnej długości, a podział będzie proporcjonalny.
Bardzo łatwo to wykazać, a nie będę zaśmiecać bloga robaczkami matematycznymi więcej niż to potrzebne.

Załóżmy, że mam podział odcinka o długości 1 taki, że r + s + t = 1 i r*s*t jest maksymalne.
Przyjrzę się odcinkowi o długości r + s. Czy odcinki r i s dają największy iloczyn? A może można podzielić ten odcinek inaczej, tak że r + s = p + q i r*s < p*q ?

Ale wtedy mielibyśmy p + q + t = 1 i r*s*t < p*q*t, co by przeczyło naszemu założeniu, że podział odcinka o długości 1 na odcinki r, s, t daje iloczyn maksymalny.

Skupmy się na tym, by odcinek o długości r + s podzielić na dwie części tak, by ich iloczyn był największy.
Dla uproszczenia, korzystając z tego co pisałam w trzecim akapicie, zamiast rozmawiać o odcinku r + s, porozmawiajmy o odcinku długości 1. Podzielimy go na części x i 1 – x (co w sumie daje 1)
Przyjrzyjmy się iloczynowi x*( 1- x )

Niech f(x)= x*( 1 – x ) = -x^2 + x

Ta funkcja kwadratowa osiąga maksimum dla x = 1/2 – czyli odcinek należy podzielić na dwie równe części.

Stąd r = s

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla odcinka o długości s + t
I będziemy mieli r = s = t – czyli odcinek z naszej zagadki trzeba podzielić na trzy równe części.

Obiecuję, że to koniec matematyki w te wakacje:)

—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Sorry, folks, when the translator saw this post she got a terrible headache and had to lie down. With an icepack on her head. There’s hope she’ll get better when her dear friend Kalina will post another post. Preferably one with no maths in it. And definitely much shorter ;)

—————————————————————————————————————————————————————————————————–
—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Edit (dzień później)
Tłumaczka zastrajkowała i ja to w pełni rozumiem i szanuje. Tym bardziej, że odwala kawał dobrej roboty i to tylko za uścisk dłoni prezesa.
Tak więc nie mam jej nawet za złe, że swoim poczuciem humoru ukradła mi cały, w znoju i trudzie pisany post – cóż, zdarza się;)
Następnym razem popracuję nad tym, by się jej to tak łatwo nie udało!

A ja tymczasem znalazłam takiego oto maila w skrzynce:

—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Edit (next day)
My translator refused to cooperate when she saw the last post. I understand her and accept her decision, especially because she works very hard for me – just for a ‘thank you’. I couldn’t dream of a more diligent, brilliant and friendly translator!
So I’m not even cross with her for stealing the show (the first comment shows that her short&witty text was more appreciated than my post which I wrote so painstakingly trying to make it as simple as possible and understandable for everyone) and’I won’t chop her head off for that [ok, just kidding, Kalina didn’t say that ;) ]. But the next time I’ll make such a stealing much harder for her!

Today I received a letter [and here Kalina quotes a letter from an admirer who says that Kalina’s photos are great (which they are) and who subtly suggests disposing of the translator by chopping her head off [ok, kidding again ;) ] Here follows a post translation provided by Michał]:

—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Cześć.

Skoro tłumaczka zaniemogła z taką ilością matematyki postanowiłem może na coś się przydać. Poniżej moje tłumaczenie tych robaczków na mowę Szekspira :) Pewnie nie jest idealne i kilka błędów się znajdzie, ale jeśli będziesz potrzebowała to korzystaj śmiało. Pozdrawiam i przy okazji powiem, że jestem pod wrażeniem zdjęć. Sam co nieco fotografuję ale nie w branży ślubnej, natomiast regularnie odwiedzam kilkanaście stron ludzi z pierwszej ligi u nas w kraju w tej działce (w tym oczywiście Twoją). Cieszę się, że ludzie zyskują świadomość jak mogą takie zdjęcia wyglądać i że są tacy którzy potrafią to po mistrzowsku robić.

Miłego dnia, Michał.

After blogging about Queen Karolina and math puzzles I have pangs of conscience that so many people had sleepless nights. So, even if more of them had given up I decided to publish the solution.

Here I’d like to congratulate to Bart and Kosma who were really close to the final solution.

So, let’s start:
For the sake of simplicity let’s assume that if I’m able to divide 1 unit length section into three/five/eighty parts and getting their product to be maximum, I’m able to do it the same with every segment (moreover, the division will be proportional). It’s really easy to prove but I’ll leave it and won’t put more math here (more than necessary).

Let’s assume 1 unit length segment division r + s + t = 1 and r*s*t is maximum. Take a look at r + s section. Does r*s sections is maximum? Maybe it’s possible to divide this segment in the other way e.g r + s = p + q and r*s < p*q ?

But then we’d have p + q + t = 1 and r*s*t < p*q*t. This breaks our assumption that 1 unit length segment division into r, s, t parts gives maximum product.

Now let’s focus on task to have r + s divided into two parts in the way that their product is maximum. For simplicity using above, let’s talk about section 1 unit length instead of r + s unit length section. We’ll divide it into two parts: x and 1 – x (sum it up and you’ll get 1). Let’s inspect x*( 1- x ).

Assume function f(x)= x*( 1 – x ) = -x^2 + x.

This square function gets its maximum for x = 1/2, so the section should be divided into two equal parts.

It gives us r = s.

By analogy the same applies to s + t. Now we get r = s = t what says that our base section should be divided into three equal parts. That’s all :)

I promise that it’s enough of math during this holidays.

Dzięki, Michale:)

This entry was posted on wtorek, lipiec 21st, 2009 at 23:26 and is filed under matematyka. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.