Archive for the ‘matematyka’ Category

Strona 1 z 11

podział odcinka – rozwiązanie / how to divide a segment – a solution, or a terrible headache of Kinga T. wtorek, Lipiec 21st, 2009

Po wpisie o Królowej Karolinie i zagadkach matematycznych mam wyrzuty sumienia, że aż tylu osobom nie dałam spać:)
Tak więc – nawet jeśli większość już dawno zarzuciła łamanie głowy – podaję rozwiązanie.

Tym samym gratulacje dla Barta i Kosmy z komentarzy do posta, którzy jako jedyni byli tegoż rozwiązania bliscy – brakowało tylko może połączenia ich dwóch dróg rozumowania w jedną całość.

No to lecimy:
Żeby było prościej umówmy się, że jeśli umiem podzielić odcinek długości 1 na trzy/dwie/pięć/osiemdziesiąt części, tak aby ich iloczyn był największy, to umiem podzielić tak odcinek dowolnej długości, a podział będzie proporcjonalny.
Bardzo łatwo to wykazać, a nie będę zaśmiecać bloga robaczkami matematycznymi więcej niż to potrzebne.

Załóżmy, że mam podział odcinka o długości 1 taki, że r + s + t = 1 i r*s*t jest maksymalne.
Przyjrzę się odcinkowi o długości r + s. Czy odcinki r i s dają największy iloczyn? A może można podzielić ten odcinek inaczej, tak że r + s = p + q i r*s < p*q ?

Ale wtedy mielibyśmy p + q + t = 1 i r*s*t < p*q*t, co by przeczyło naszemu założeniu, że podział odcinka o długości 1 na odcinki r, s, t daje iloczyn maksymalny.

Skupmy się na tym, by odcinek o długości r + s podzielić na dwie części tak, by ich iloczyn był największy.
Dla uproszczenia, korzystając z tego co pisałam w trzecim akapicie, zamiast rozmawiać o odcinku r + s, porozmawiajmy o odcinku długości 1. Podzielimy go na części x i 1 – x (co w sumie daje 1)
Przyjrzyjmy się iloczynowi x*( 1- x )

Niech f(x)= x*( 1 – x ) = -x^2 + x

Ta funkcja kwadratowa osiąga maksimum dla x = 1/2 – czyli odcinek należy podzielić na dwie równe części.

Stąd r = s

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla odcinka o długości s + t
I będziemy mieli r = s = t – czyli odcinek z naszej zagadki trzeba podzielić na trzy równe części.

Obiecuję, że to koniec matematyki w te wakacje:)

—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Sorry, folks, when the translator saw this post she got a terrible headache and had to lie down. With an icepack on her head. There’s hope she’ll get better when her dear friend Kalina will post another post. Preferably one with no maths in it. And definitely much shorter ;)

—————————————————————————————————————————————————————————————————–
—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Edit (dzień później)
Tłumaczka zastrajkowała i ja to w pełni rozumiem i szanuje. Tym bardziej, że odwala kawał dobrej roboty i to tylko za uścisk dłoni prezesa.
Tak więc nie mam jej nawet za złe, że swoim poczuciem humoru ukradła mi cały, w znoju i trudzie pisany post – cóż, zdarza się;)
Następnym razem popracuję nad tym, by się jej to tak łatwo nie udało!

A ja tymczasem znalazłam takiego oto maila w skrzynce:

—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Edit (next day)
My translator refused to cooperate when she saw the last post. I understand her and accept her decision, especially because she works very hard for me – just for a ‘thank you’. I couldn’t dream of a more diligent, brilliant and friendly translator!
So I’m not even cross with her for stealing the show (the first comment shows that her short&witty text was more appreciated than my post which I wrote so painstakingly trying to make it as simple as possible and understandable for everyone) and’I won’t chop her head off for that [ok, just kidding, Kalina didn’t say that ;) ]. But the next time I’ll make such a stealing much harder for her!

Today I received a letter [and here Kalina quotes a letter from an admirer who says that Kalina’s photos are great (which they are) and who subtly suggests disposing of the translator by chopping her head off [ok, kidding again ;) ] Here follows a post translation provided by Michał]:

—————————————————————————————————————————————————————————————————–

Cześć.

Skoro tłumaczka zaniemogła z taką ilością matematyki postanowiłem może na coś się przydać. Poniżej moje tłumaczenie tych robaczków na mowę Szekspira :) Pewnie nie jest idealne i kilka błędów się znajdzie, ale jeśli będziesz potrzebowała to korzystaj śmiało. Pozdrawiam i przy okazji powiem, że jestem pod wrażeniem zdjęć. Sam co nieco fotografuję ale nie w branży ślubnej, natomiast regularnie odwiedzam kilkanaście stron ludzi z pierwszej ligi u nas w kraju w tej działce (w tym oczywiście Twoją). Cieszę się, że ludzie zyskują świadomość jak mogą takie zdjęcia wyglądać i że są tacy którzy potrafią to po mistrzowsku robić.

Miłego dnia, Michał.

After blogging about Queen Karolina and math puzzles I have pangs of conscience that so many people had sleepless nights. So, even if more of them had given up I decided to publish the solution.

Here I’d like to congratulate to Bart and Kosma who were really close to the final solution.

So, let’s start:
For the sake of simplicity let’s assume that if I’m able to divide 1 unit length section into three/five/eighty parts and getting their product to be maximum, I’m able to do it the same with every segment (moreover, the division will be proportional). It’s really easy to prove but I’ll leave it and won’t put more math here (more than necessary).

Let’s assume 1 unit length segment division r + s + t = 1 and r*s*t is maximum. Take a look at r + s section. Does r*s sections is maximum? Maybe it’s possible to divide this segment in the other way e.g r + s = p + q and r*s < p*q ?

But then we’d have p + q + t = 1 and r*s*t < p*q*t. This breaks our assumption that 1 unit length segment division into r, s, t parts gives maximum product.

Now let’s focus on task to have r + s divided into two parts in the way that their product is maximum. For simplicity using above, let’s talk about section 1 unit length instead of r + s unit length section. We’ll divide it into two parts: x and 1 – x (sum it up and you’ll get 1). Let’s inspect x*( 1- x ).

Assume function f(x)= x*( 1 – x ) = -x^2 + x.

This square function gets its maximum for x = 1/2, so the section should be divided into two equal parts.

It gives us r = s.

By analogy the same applies to s + t. Now we get r = s = t what says that our base section should be divided into three equal parts. That’s all :)

I promise that it’s enough of math during this holidays.

Dzięki, Michale:)

Królowa Karolina i zagadki matematyczne, czyli zajawka Karoliny i Matthew / Queen Karolina and mathematical problems or a sneak peek (Karolina & Matthew) czwartek, Lipiec 2nd, 2009

Karolinie parę ładnych lat temu udzielałam korepetycji z matematyki. Kiedy na spotkaniu okazało się, że Kalina mająca fotografować jej ślub, dawniej uczyła ją pochodnych, obie przeżyłyśmy niezłe zaskoczenie – ten świat jest jednak dużo mniejszy, niż się wydaje!

I naprawdę, bez cienia wazeliny, mogę powiedzieć że Karolina była wyjątkowo bystrą, ze sporą wiedzą uczennicą, która potrzebowała tylko finalnego szlifu, by tę wiedzę nauczyć się lepiej wykorzystywać.

Wiele osób dziwi się, że matematyka i fotografia, takie skrajności, że ciekawej wolty dokonałam. A ja myślę całkiem inaczej – że wszystko jest powiązane. Że gdyby nie studia matematyczne byłabym pewnie dziś kimś całkiem innym. Oczywiście, gdyby nie tysiąc innych rzeczy które się powydarzały, też byłabym kimś zupełnie innym – ale jedno jest pewne – matematyka rozwija wyobraźnię. Można się spierać, czy rozwija akurat ten rodzaj wyobraźni, który jest potrzebny w fotografii – ale czyż to wszystko nie jest systemem naczyń połączonych?

A jako ilustracja powyższego niech posłuży taka oto historyjka:

W szkole średniej próbowałam swoich sił w olimpiadzie matematycznej. Pierwszym etapem były zadania, który każdy samodzielnie rozwiązywał w domu.
I było jedno zadanie, które nie dawało mi spać. Zawzięłam się, męczyłam je na wszystkie strony: graficznie, obliczeniowo, logicznie. Spędziłam nad nim kupę czasu, mózg mi parował niczym żelazko tefal – i nic. W końcu nieoceniona profesor Klonowska podsunęła mi podręcznik dla studentów, mówiąc, że na pewno można je rozwiązać przy pomocy rachunku różniczkowego dwóch zmiennych, ale że taki sposób to jednak ostateczność. Rzeczywiście, po lekturze zadanie rozwiązałam, ale nie byłam tym usatysfakcjonowana. Wiedziałam, że jest inna droga, tylko ja jej nie umiem odnaleźć.

Tak się złożyło, że na początku drugiego roku studiów przypomniałam sobie to zadanie… i rozwiązałam je w jedną minutę bazując na logice i wiedzy matematycznej dostępnej ósmoklasiście.

Dla dociekliwych i perwersyjnych na tyle, by ćwiczyć rozprostowywanie zwojów mózgowych nawet w takie upały, oto moje olimpijskie zadanie:

Odcinek o długości a podziel na trzy części tak, aby ich iloczyn był największy.
(Jeśli kogoś przerażają literki, to zamiast odcinka długości a można wziąć odcinek długości 1)

Dość łatwo wpaść na to, jak odcinek należy podzielić. Cały myk polega na tym, żeby wykazać, że ten podział jest najlepszy.

A poniżej obiecana zajawka Karoliny i Matthew. Pod koniec sesji plenerowej trafiliśmy na klimatyczną miejscówkę i odrobinę nas poniosło:

—————————————————————————————————————————————————————————————————–

A few years ago I gave Karolina private lessons. In maths. So we were both pretty astonished when we met again as a bride and a photographer and discovered that we already know each other. It seems that the world is not so big, after all!

And you know what? Karolina was a really brilliant pupil with quite extensive knowledge so she only needed a kind of a push to make that knowledge work.

For many people mathematics and photography are so far apart that they think I underwent a great and quite amazing change. But for me everything is connected in one way or another. If I didn’t study maths I would be a completely different person now. Of course, I would be a different person if some other things wouldn’t have happened as well. But I can tell you that maths helps to develop imagination. It remains an open question if this is the same kind of imagination which plays important role in photography, but still mathematics and photography are connected.

And now an anecdote:

In secondary school I took part in a maths contest. At the first stage we were given mathematical problems and had to solve them at home. One of them proved to be really tough. I was determined to find a solution, I tried to attack the problem in different ways, my mind was melting down from overheating – but all in vain. At last my teacher gave me a textbook for students and told me that I could try differential calculus with two variables – but this would be the last resort. I read the textbook and solved the problem. But I wasn’t satisfied. I knew there was another, simpler way but I couldn’t find it.

A few years later when I was studying mathematics I suddenly recalled that problem and… solved it using simple methods known to a pupil from the last class of primary school. It took me a minute.

For those perverse people who like to torture their brains even during summer heat here goes my problem from mathematical contest:

Divide a segment of the length of a into three parts in such a way that their product is as high as possible.

(If you aren’t comfortable with length expressed in letters you can assume that thesegment has a length of 1).

Actually it’s quite easy to find how to divide a segment in such a way. But then you have to prove that this is the best way – and this is the hard part.

And now the promised sneak peek. At the end of the session we found an imagination-stirring location and we got carried away a bit:

Królowa Karolina i zagadki matematyczne
Karolina i Matthew

Strona 1 z 11