Królowa Karolina i zagadki matematyczne, czyli zajawka Karoliny i Matthew / Queen Karolina and mathematical problems or a sneak peek (Karolina & Matthew)
Karolinie parę ładnych lat temu udzielałam korepetycji z matematyki. Kiedy na spotkaniu okazało się, że Kalina mająca fotografować jej ślub, dawniej uczyła ją pochodnych, obie przeżyłyśmy niezłe zaskoczenie – ten świat jest jednak dużo mniejszy, niż się wydaje!
I naprawdę, bez cienia wazeliny, mogę powiedzieć że Karolina była wyjątkowo bystrą, ze sporą wiedzą uczennicą, która potrzebowała tylko finalnego szlifu, by tę wiedzę nauczyć się lepiej wykorzystywać.
Wiele osób dziwi się, że matematyka i fotografia, takie skrajności, że ciekawej wolty dokonałam. A ja myślę całkiem inaczej – że wszystko jest powiązane. Że gdyby nie studia matematyczne byłabym pewnie dziś kimś całkiem innym. Oczywiście, gdyby nie tysiąc innych rzeczy które się powydarzały, też byłabym kimś zupełnie innym – ale jedno jest pewne – matematyka rozwija wyobraźnię. Można się spierać, czy rozwija akurat ten rodzaj wyobraźni, który jest potrzebny w fotografii – ale czyż to wszystko nie jest systemem naczyń połączonych?
A jako ilustracja powyższego niech posłuży taka oto historyjka:
W szkole średniej próbowałam swoich sił w olimpiadzie matematycznej. Pierwszym etapem były zadania, który każdy samodzielnie rozwiązywał w domu.
I było jedno zadanie, które nie dawało mi spać. Zawzięłam się, męczyłam je na wszystkie strony: graficznie, obliczeniowo, logicznie. Spędziłam nad nim kupę czasu, mózg mi parował niczym żelazko tefal – i nic. W końcu nieoceniona profesor Klonowska podsunęła mi podręcznik dla studentów, mówiąc, że na pewno można je rozwiązać przy pomocy rachunku różniczkowego dwóch zmiennych, ale że taki sposób to jednak ostateczność. Rzeczywiście, po lekturze zadanie rozwiązałam, ale nie byłam tym usatysfakcjonowana. Wiedziałam, że jest inna droga, tylko ja jej nie umiem odnaleźć.
Tak się złożyło, że na początku drugiego roku studiów przypomniałam sobie to zadanie… i rozwiązałam je w jedną minutę bazując na logice i wiedzy matematycznej dostępnej ósmoklasiście.
Dla dociekliwych i perwersyjnych na tyle, by ćwiczyć rozprostowywanie zwojów mózgowych nawet w takie upały, oto moje olimpijskie zadanie:
Odcinek o długości a podziel na trzy części tak, aby ich iloczyn był największy.
(Jeśli kogoś przerażają literki, to zamiast odcinka długości a można wziąć odcinek długości 1)
Dość łatwo wpaść na to, jak odcinek należy podzielić. Cały myk polega na tym, żeby wykazać, że ten podział jest najlepszy.
A poniżej obiecana zajawka Karoliny i Matthew. Pod koniec sesji plenerowej trafiliśmy na klimatyczną miejscówkę i odrobinę nas poniosło:
—————————————————————————————————————————————————————————————————–
A few years ago I gave Karolina private lessons. In maths. So we were both pretty astonished when we met again as a bride and a photographer and discovered that we already know each other. It seems that the world is not so big, after all!
And you know what? Karolina was a really brilliant pupil with quite extensive knowledge so she only needed a kind of a push to make that knowledge work.
For many people mathematics and photography are so far apart that they think I underwent a great and quite amazing change. But for me everything is connected in one way or another. If I didn’t study maths I would be a completely different person now. Of course, I would be a different person if some other things wouldn’t have happened as well. But I can tell you that maths helps to develop imagination. It remains an open question if this is the same kind of imagination which plays important role in photography, but still mathematics and photography are connected.
And now an anecdote:
In secondary school I took part in a maths contest. At the first stage we were given mathematical problems and had to solve them at home. One of them proved to be really tough. I was determined to find a solution, I tried to attack the problem in different ways, my mind was melting down from overheating – but all in vain. At last my teacher gave me a textbook for students and told me that I could try differential calculus with two variables – but this would be the last resort. I read the textbook and solved the problem. But I wasn’t satisfied. I knew there was another, simpler way but I couldn’t find it.
A few years later when I was studying mathematics I suddenly recalled that problem and… solved it using simple methods known to a pupil from the last class of primary school. It took me a minute.
For those perverse people who like to torture their brains even during summer heat here goes my problem from mathematical contest:
Divide a segment of the length of a into three parts in such a way that their product is as high as possible.
(If you aren’t comfortable with length expressed in letters you can assume that thesegment has a length of 1).
Actually it’s quite easy to find how to divide a segment in such a way. But then you have to prove that this is the best way – and this is the hard part.
And now the promised sneak peek. At the end of the session we found an imagination-stirring location and we got carried away a bit:
lipiec 2nd, 2009 at 22:17
Dałaś czadu, Dziewczyno!
Śliczna panna młoda. Czekam na całość z niecierpliwością!
lipiec 2nd, 2009 at 22:42
Lubisz się znęcać nad nami publikując zajawki ;)
Jest czad. Mix tonacji na pierwszym daje czadu.
lipiec 2nd, 2009 at 22:55
cholera, odcinek… idę po kawę i przypominam sobie matmę z 8 klasy :)
lipiec 2nd, 2009 at 23:03
ja to mam rozwiązanie i to prawidłowe ale Kalina żąda dowodów :( wiec muszę jeszcze udowodnić ze to jest ten wynik)
lipiec 3rd, 2009 at 06:15
spokojnie Niedzwiedz. Kalinie jak widac zajęło to 3 lata ;) masz czas ;]
lipiec 3rd, 2009 at 10:03
no to ja nawet bez wina nie dam rade ;)
odrobine ponioslo? to ma byc odrobina? ;) juz ja wiem jak Ciebie moze poniesc! ;)
to ide na rower ;)
lipiec 3rd, 2009 at 10:28
LOL, ale poleciałaś z matmą :> Matematyka to coś, co mnie zawsze odrzucało.Teraz dawno ją skończyłem studiować i mam ten komfort zupełnie olać to zadanie matematyczne, co też czynię z największa frajdą, że to już nieobowiązkowe :) Co do zdjęć to ciekawa wizja. Podoba mi się to z młotem do mięcha. Co do tego drugiego to trochę spooky :) Ogólnie ok, ale jestem ciekaw jak to przedstawisz młodym w formie materialnej, a nie cyfrowej?
lipiec 3rd, 2009 at 10:31
… bo w tych ramkach prezentują się fajnie. Trudno, musisz kupić ramy :>
lipiec 3rd, 2009 at 11:08
Naprawdę niezła zajawka. Jest możliwość wydrukowania sobie zdjęć na płótnie. Chyba sobie coś takiego zrobię i wydrukuję.
A jeśli chodzi o matmę to mogę jedynie potwierdzić, że te dwie na pozór odmienne dziedzinymogą się powiązać. Na wszystko można znaleźć wzór ;)
lipiec 3rd, 2009 at 13:31
Coz ja jestem humanista i do matmy nigdy nie mialem glowy:) Ale przypomniało mi sie pewne zdarzenie z moich lat podstawowki kiedy to pani od matematyki poprosiła mnie abym rozwiazal zadanie na tablicy:) oczywiscie nie udalo mi sie :( ale nie dawalo mi to spokoju dluzszy czas.
KIedy byłem w sredniej szkole na matmie omawialismy ten sam temat i zostalem wywolany do tablicy
wtedy to zadanie rozwiazalem bardzo szybko i siadajac do ławki mialem na swoim kacie dziennikowym 5:)
A co do zdjec to ja tu widze nowy styl w fotografii Retrohorror:)
lipiec 3rd, 2009 at 15:11
toz to obrazy sa… a ty podobno fotografujesz :P :D
lipiec 3rd, 2009 at 15:31
Podobno :D
lipiec 3rd, 2009 at 19:40
Jesu matematyka to moja trauma z dziecinstwa, nie chcialam nie potrafilam, nie rozumialam itd itp
Jestem pelna podziwu dla ludzi ktorzy sie tym pasjonują, pozatym dla Ciebie Aniu jeste pelna podziwu bo badz co badz z takim scisłym umysłem robisz takie prace. Bosko!
lipiec 3rd, 2009 at 19:51
A ja dla odmiany bardzo lubiłam matematykę a teraz za chiny ludowe nic nie pamiętam. Wniosek? Trzeba było na randki biegac a nie zadania odrabiać ;-) Kalina, zdjęcia są czaderskie jak zawsze!
lipiec 4th, 2009 at 08:02
Ja z niecierpliwością czekam na tą Prawdziwą Kalinę. :)
lipiec 4th, 2009 at 08:20
Ja również należałem do klubu antymatematycznego i szczerze, jak napisał Hubert, cieszę się że to już nieobowiązkowe :) A co do obrazów… Kiedyś sądziłem, że takie coś robią malarze swoim „pędzelkiem”… ;) To z nożem – bardzo niebezpieczne ujęcie, jak kadr z dobrego thriller’a :)
lipiec 5th, 2009 at 13:09
Jedno jest pewne, po opublikowamiu tego postu z predkościa swiatła pojawią sie na innych blogach
zdjecia w ramach :D
lipiec 7th, 2009 at 14:19
Rzeczywiście podejście „podstawówkowe” wygląda na łatwe. Podszedłem do tego w taki sposób:
V = a*b*c – objętość prostopadłościanu o podstawie (a*b) i wysokości c
a+b+c=1 (dla uproszczenia obliczeń, równie dobrze można podstawić jakąś stałą w miejsce 1)
Wybieramy pewne c>0 i mamy k=1-c, a+b=k. Wyliczamy pole podstawy:
P = ab = a(k-a) = -a^2 + ak
Funkcja ta osiąga maksimum dla a=k/2 (z wzoru x=-b/2a dla równania kwadratowego), a więc maksymalne pole podstawy uzyskujemy, gdy a=b.
Wiedząc, że a=b, mamy c = 1-2a. Obliczamy objętość prostopadłościanu:
V = a*a*c = a*a*(1-2a) = a^2 – 2a^3
I tu szczerze mówiąc utknąłem, bo nie potrafię wyznaczyć max(V) dla 0<a
lipiec 8th, 2009 at 09:51
„V = a*b*c – objętość prostopadłościanu o podstawie (a*b) i wysokości c” i jednocześnie objętość prostopadłościanu o wysokości a i podstawie (b*c) ;)
lipiec 9th, 2009 at 08:49
bart – dziękuje za przypomnienie wzoru na objętość prostopadłościanu, jabys jeszcze mógł wytłumaczyć jaki on ma związek z moim zadaniem, byłabym wdzięczna.
Kosma – założyłeś, nie uzasadniając tego w żaden sposób, że objętość prostopadłościanu będzie maksymalna jeśli pole podstawy będzie maksymalne. Tak można by założyć, gdyby wysokość prostopadłościanu nie zależała od boków podstawy.
lipiec 9th, 2009 at 20:02
Nie założyłem niczego takiego. Wyliczyłem po prostu, że mając pewną określoną część odcinka (k) przeznaczoną na podstawę, pole tej postawy (przy tym konkretnym k) jest największe, kiedy jest ona kwadratowa. Do tego WordPress uciął końcówkę mojego wpisu… powinno być:
Wiedząc, że a=b, mamy c = 1-2a. Obliczamy objętość prostopadłościanu:
V = a*a*c = a*a*(1-2a) = a^2 – 2a^3
I tu szczerze mówiąc utknąłem, bo nie potrafię wyznaczyć max(V) dla 0<a<1 metodą „podstawówkową” – wyliczyłem na pochodnych i wyszło a=1/3, czyli sześcian.
Swoją drogą, kojarzę skądś twierdzenie, że przy a+b+c=const największą objętość będzie miał właśnie sześcian, ale za nic nie potrafię sobie przypomnieć, gdzie to wyczytałem, ani w jaki sposób było udowodnione.
lipiec 12th, 2009 at 09:51
No cóż pozostaje tylko czekać aż może pojawi się więcej zdjęć z tego ślubu. Na szczęście jest zadanie, które wypełni nam czas oczekiwania :)
lipiec 22nd, 2009 at 00:27
Ponieważ zwrócono mi uwagę na niespójność posta z rozwiązaniem z moimi tu komentarzami tu, chciałam powiedzieć, ze po doprecyzowaniu Kosmy wypowiedź barta nabiera sensu i jest właściwie tym, czego brakuje temu rozwiązaniu.
lipiec 23rd, 2009 at 09:12
Heh, niechcący zamieszałem a przyszedłem zdjęcia pooglądać (a tak w ogóle, to Kosma sprytnie zaczął, ja tylko skończyłem)